Hàm riêng là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học liên quan

Giới thiệu

Hàm riêng (partial derivative) là công cụ đo độ biến thiên của hàm số nhiều biến theo từng biến riêng lẻ khi các biến còn lại giữ cố định. Khái niệm này mở rộng ý tưởng của đạo hàm một biến, cho phép nghiên cứu mức độ nhạy cảm và tương quan giữa các biến đầu vào trong mô hình toán học và thực nghiệm.

Trong giải tích nhiều biến, hàm riêng đóng vai trò then chốt để xác định bậc bậc chẵn lẻ của hàm, phân tích điểm tới hạn, xác định các cực trị và lớn nhỏ địa phương. Ma trận Hessian, một cấu trúc quan trọng trong tối ưu hóa, được xây dựng từ các đạo hàm riêng cấp hai, giúp đánh giá độ lõm lõm và tính ổn định của nghiệm.

Ứng dụng của hàm riêng lan tỏa khắp các lĩnh vực: kinh tế học dùng để tính lợi ích cận biên và tối ưu hóa chi phí, vật lý mô tả phương trình sóng và nhiệt, kỹ thuật phân tích ứng suất và biến dạng, máy học tối ưu hàm mất mát. Khả năng tách biệt biến thiên theo từng chiều mang đến góc nhìn trực quan và chính xác cho bài toán đa chiều.

Định nghĩa và ký hiệu

Cho hàm f có n biến thực f(x₁,x₂,…,xₙ) xác định trên miền D ⊆ ℝⁿ. Đạo hàm riêng của f theo biến x_i tại điểm a=(a₁,a₂,…,aₙ) được định nghĩa là:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1,\dots,a_i+h,\dots,a_n) - f(a)}{h}$

Ký hiệu phổ biến bao gồm ∂f/∂x_i(a), f_{x_i}(a) hoặc f_i(a). Khi hàm có hai biến x và y, người ta thường dùng f_x và f_y hoặc ∂f/∂x và ∂f/∂y để chỉ rõ chiều đạo hàm.

Ký hiệu ∂ (partial) khác với d (total derivative) ở chỗ ∂ chỉ rõ chỉ một biến được thay đổi, các biến khác giữ nguyên. Khi tính total derivative df, phải cộng thêm tác động gián tiếp từ biến phụ thuộc theo chuỗi.

Định nghĩa giải tích (giới hạn)

Để mở rộng định nghĩa đạo hàm riêng dưới góc độ giải tích, giả sử f đủ khả vi cục bộ quanh a. Đạo hàm riêng theo x_i có thể viết dưới dạng giới hạn sau:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h\,e_i) - f(a)}{h}$

Trong đó e_i là vectơ đơn vị theo chiều x_i, có thành phần thứ i = 1 và các thành phần khác bằng 0. Cách viết này làm rõ việc dịch điểm a lên h trên phương x_i mà không ảnh hưởng tọa độ khác.

Giá trị đạo hàm riêng phản ánh độ dốc của mặt hàm f theo quỹ đạo cắt mặt phẳng x_j=a_j (với j≠i). Đường cắt này là đường cong một biến đơn, cho phép áp dụng trực tiếp các quy tắc tính đạo hàm trong giải tích một biến.

Tính chất cơ bản

Đạo hàm riêng thỏa mãn tính chất tuyến tính: với hai hàm f và g khả vi, cùng biến x_i, và a, b là hằng số thực, có

• ∂(a f + b g)/∂x_i = a ∂f/∂x_i + b ∂g/∂x_i.

Quy tắc tích và quy tắc thương khác biệt so với đạo hàm đầy đủ ở chỗ chỉ xét biến được lấy đạo hàm:

• ∂(f g)/∂x = f ∂g/∂x + g ∂f/∂x
• ∂(f/g)/∂x = (g ∂f/∂x − f ∂g/∂x) / g²

Định lý Clairaut về trao đổi thứ tự đạo hàm riêng: nếu f có đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x_i∂x_j và ∂²f/∂x_j∂x_i liên tục gần a, thì hai đạo hàm bằng nhau:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a)$

Đặc tính này quan trọng khi xây dựng ma trận Hessian, giúp đơn giản hóa tính toán và đảm bảo tính đối xứng của ma trận Hessian dùng trong phân tích cực trị và tối ưu hóa.

Quy tắc tính đạo hàm riêng

Quy tắc tổng: hàm f và g có đạo hàm riêng theo x_i, với a, b ∈ ℝ, thỏa mãn

∂(a f + b g)/∂xi = a ∂f/∂xi + b ∂g/∂xi

Quy tắc tích: tích f·g có đạo hàm riêng theo x_i là

∂(f g)/∂xi = f ∂g/∂xi + g ∂f/∂xi

Quy tắc thương: thương f/g khi g ≠ 0,

∂(f/g)/∂xi = [g ∂f/∂xi − f ∂g/∂xi]/g²

Quy tắc chuỗi cho hàm hợp v = h(u(x₁,…,xₙ)): với u:ℝⁿ→ℝ và h:ℝ→ℝ,

∂v/∂xi = h′(u) · ∂u/∂xi

Quy tắc chuỗi mở rộng cho h:ℝᵐ→ℝ và u:ℝⁿ→ℝᵐ:

∂(h∘u)/∂xi = Σj=1..m (∂h/∂uj)·(∂uj/∂xi)

Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa qua tiếp tục lấy hàm riêng cấp một:

∂²f/∂xi² = ∂/∂xi (∂f/∂xi), ∂²f/∂xi∂xj = ∂/∂xj (∂f/∂xi)

Ma trận Hessian H của f(x₁,…,xₙ) tại a được xây dựng từ đạo hàm riêng cấp hai:

H(a) = [∂²f/∂xi∂xj(a)]i,j=1..n

Định lý Clairaut (Schwarz) cho f đủ khả vi liên tục cấp hai: các đạo hàm riêng bậc hai hoán vị:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i}$

Ứng dụng trong thực tế

• Kinh tế học: Tính lợi ích cận biên ∂U/∂x_i, phân tích hàm sản xuất Cobb–Douglas và tối ưu hóa chi phí.
• Vật lý: Phương trình sóng ∂²u/∂t² = c²∇²u, điều hòa nhiệt ∂u/∂t = α∇²u và cơ học chất lỏng Navier–Stokes.
• Kỹ thuật: Phân tích ứng suất σ(x,y,z) trên kết cấu, sử dụng ∂σ/∂x để thiết kế kết cấu chịu lực.
• Máy học: Tối ưu hóa hàm mất mát L(w) qua ∂L/∂w để huấn luyện mạng nơ-ron (gradient descent).

Phương pháp tính và công cụ

Tính tay qua công thức giải tích phù hợp với hàm polynôm, mũ, logarit, lượng giác. Tự động hóa bằng phần mềm:

• Mathematica: D[f[x,y], x] và D[f, {x,2}, y]
• MATLAB: diff(f, x) và diff(f, x, 2)
• Python Sympy: diff(f, x), diff(f, x, y) (Sympy Docs).

Số học (numerical differentiation) dùng sai phân tiến/hậu trên lưới:

∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x, y)]/h

Mô hình hóa và tối ưu hóa đa biến hỗ trợ trong R (package numDeriv) và Python (numpy.gradient, autograd).

Danh mục tài liệu tham khảo

• Stewart J. “Calculus: Early Transcendentals.” Cengage Learning, 2015.
• Thomas G.B., Weir M.D., Hass J. “Thomas' Calculus.” Pearson, 2018.
• Wolfram MathWorld. “Partial Derivative.” mathworld.wolfram.com.
• Khan Academy. “Partial derivatives.” khanacademy.org.
• MIT OpenCourseWare. “Multivariable Calculus.” ocw.mit.edu.